Calcule lim x → 0 + ⁡ x ⋅ ln ⁡ x .

Passo 1

Faaaala pessoal, tudo tranquilo?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 + ⁡ x ⋅ ln ⁡ x

Bom, vamos começar como sempre substituindo o valor que x está tendendo para avaliarmos se o limite já fica determinado ou não. Daí:

lim x → 0 + ⁡ x ⋅ ln ⁡ x = 0 ⋅ lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x

Mas:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x → - ∞

Logo, ficamos com um produto do tipo:

0 ⋅ ( - ∞ )

Que é indeterminado.

Então, precisaremos aplicar alguma técnica matemática para determinar esse limite. Se olharmos direitinho, vale que:

lim x → 0 + ⁡ x ⋅ ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x

Agora esse limite é algo do tipo:

- ∞ ∞

Logo, podemos usar o teorema de L’Hospital. Basicamente, se:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = ∞ ∞ o u 0 0

Então vale que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

Massa! Vamo nessa então!

Passo 2

Queremos calcular, usando L’Hospital, o limite:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x

Logo:

f x = ln ⁡ x

g x = 1 x

Derivando essas funções, temos:

f ' x = 1 x

g ' x =   - 1 x 2

Daí:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x = lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x 2

= lim x → 0 + ⁡ - x

Daí agora a indeterminação sumiu, então é só fazermos a substituição direta:

lim x → 0 + ⁡ - x = - 0

= 0

Portanto, o limite pedido tende a zero.

Valeu galerinha, até a próxima 😉

Resposta

0

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