UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 6.15
Calcule
Passo 1
Faaaala pessoal, tudo tranquilo?
Nessa questão precisamos calcular o limite:
Bom, vamos começar como sempre substituindo o valor que está tendendo para avaliarmos se o limite já fica determinado ou não. Daí:
Mas:
Logo, ficamos com um produto do tipo:
Que é indeterminado.
Então, precisaremos aplicar alguma técnica matemática para determinar esse limite. Se olharmos direitinho, vale que:
Agora esse limite é algo do tipo:
Logo, podemos usar o teorema de L’Hospital. Basicamente, se:
Então vale que:
Massa! Vamo nessa então!
Passo 2
Queremos calcular, usando L’Hospital, o limite:
Logo:
Derivando essas funções, temos:
Daí:
Daí agora a indeterminação sumiu, então é só fazermos a substituição direta:
Portanto, o limite pedido tende a zero.
Valeu galerinha, até a próxima 😉