46. Calcule.

a) lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x .

Pra isso vamos lembrar da igualdade trigonométrica:

tan ⁡ x = sen ⁡ x cos ⁡ x

E do limite fundamental (que já é um limite tabelado, então nem precisamos calcular nada, só ter como verdade mesmo):

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Também vamos precisar da propriedade de limite:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x

Passo 2

Manipulando o limite:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ x x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x cos ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x ⋅ 1 cos ⁡ x

Usando a propriedade:

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x ⋅ lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x

O primeiro limite é o limite fundamental:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

O segundo, a gente resolve:

lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x = 1 cos ⁡ 0

= 1 1

= 1

Portanto:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x ⋅ lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x

= 1 ⋅ 1

= 1

Resposta

1

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