UFF, Cálculo IA-Lista 3, GMA, 2008-1, Questão 7
Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Substituindo por na expressão do limite, o denominador vai a zero. Por isso precisamos encontrar uma maneira de sair dessa indeterminação e encontrar o valor desse limite. Vamos tentar o mais simples, fazer a distributiva em cima.
A principio parece que isso não ajudou muito, mas repare que uma das raízes do polinômio é e com isso, podemos dividir esse polinômio por . O resultado é
Ora, esse é um polinômio do segundo grau fácil de fatorar, fica assim:
Então, por fim, temos que
E o limite fica assim:
Passo 2
Agora vamos tentar abrir os polinômios do denominador pra tentar cortar com alguma coisa do numerador. Começando pelo , perceba que ele é um produto notável que pode ser escrito da seguinte maneira
Já o polinômio possui raiz igual a , logo, dividindo-o por obtemos
Passo 3
Então, reescrevendo o limite temos o isso aqui:
Cortando o de cima com o de baixo sobra
Agora cortando o de cima com o de baixo ficamos com
Passo 4
Agora que não tem mais nada pra cortar, vamos tentar substituir por na nova expressão que encontramos.