Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 5 ⁡ 25 - x ² x - 5

Passo 1

Começamos sempre tentando substituir x .

lim x → 5 ⁡ 25 - x ² x - 5 = 25 - 5 ² 5 - 5 = 0 0

Ops! Temos uma indeterminação. Vamos resolver o limite de outro jeito.

Passo 2

Vamos tirar a raiz do numerador multiplicando a função por 25 - x ² .

lim x → 5 ⁡ 25 - x 2 x - 5 . 25 - x ² 25 - x ² =

lim x → 5 ⁡ 25 - x 2 ( x - 5 ) 25 - x ²

Fatorando, o polinômio do numerador obtemos:

25 - x 2 = ( 5 - x ) ( 5 + x )

O limite se transforma em

lim x → 5 ⁡ ( 5 - x ) ( 5 + x ) ( x - 5 ) 25 - x ² =

Dividindo 5 - x x - 5 temos:

5 - x x - 5 = - 1

lim x → 5 ⁡ - 5 + x 25 - x ²

Passo 3

Podemos reescrever o limite tirando o sinal negativo da expressão:

lim x → 5 ⁡ - 5 + x 25 - x ² = - lim x → 5 ⁡ 5 + x 25 - x 2

Agora observe que para resolver lim x → 5 ⁡ 5 + x 25 - x 2 precisamos faze os limites laterais, pois o valor do limite pode ser diferente pela esquerda e pela direita.

lim x → 5 - ⁡ 25 - x ² x - 5 = - lim x → 5 - ⁡ 5 + x 25 - x 2 = - lim x → 5 - ⁡ 10 0 + = - ∞ = - ∞

lim x → 5 + ⁡ 25 - x ² x - 5 = - lim x → 5 + ⁡ 5 + x 25 - x 2 = - lim x → 5 - ⁡ 10 0 - = ∄ ,   p o i s   n ã o   h á   r a i z   q u a d r a d a   d e   n ú m e r o   n e g a t i v o

Resposta

N ã o   e x i s t e

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