7) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 1 ⁡ 3 1 - x 2 - 2 1 - x 3 1 - x 3 1 - x 2

Passo 1

Bora destruir esse limite!

É sempre importante tentar substituir o valor da tendência do x (nesse caso, x = 1 ) na função em questão. Nesse caso, temos uma indeterminação matemática, pois:

f x =   3 1 - x 2 - 2 1 - x 3 1 - x 3 1 - x 2 ⇒ f 1 = 0 0

Não deu certo. Vamos pensar outra forma.

Passo 2

Aqui temos que ter muito cuidado! Pois dá bastante vontade de usar a propriedade abaixo:

lim x → p ⁡ f x ± g x = lim x → p ⁡ f x ± lim x → p ⁡ g ( x )  

Mas, ela não é válida nesse caso, uma vez que lim x → 1 ⁡ f x   e lim x → 1 ⁡ g ( x )   não existem separadamente.

Portanto, vamos pelo caminho da fatoração, tentando eliminar o fator que está causando a indeterminação matemática. Sabemos que:

1 - x 2 = 1 + x 1 - x

1 - x 3 =   ( 1 - x ) ( x 2 + x + 1 )

Logo:

3 1 - x 2 - 2 1 - x 3 1 - x 3 1 - x 2 = 1 - x 1 - x 2   ⋅ 3 1 + x - 2 x 2 + x + 1 1 + x . x 2 + x + 1 = 1 1 - x ⋅ - 2 x 2 + x + 1 1 + x x 2 + x + 1

Como:

- 2 x 2 + x + 1 = 1 - x 2 x + 1

Vem que:

3 1 - x 2 - 2 1 - x 3 1 - x 3 1 - x 2 = 1 - x 1 - x ⋅ 2 x + 1 1 + x x 2 + x + 1 = 2 x + 1 1 + x x 2 + x + 1    

Passo 3

Agora, finalmente conseguimos tirar o termo ( 1 - x ) do nosso denominador. Então podemos resolver o limite apenas substituindo x = 1 em f ( x ) .

lim x → 1 ⁡ 3 1 - x 2 - 2 1 - x 3 1 - x 3 1 - x 2 = lim x → 1 ⁡ 2 x + 1 1 + x x 2 + x + 1 = lim x → 1 ⁡ 2 + 1 1 + 1 1 + 1 + 1 = 3 6 = 1 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ 3 1 - x 2 - 2 1 - x 3 1 - x 3 1 - x 2 = 1 2

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