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Exercícios Resolvidos de Quociente de Polinômios com x → Constante

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Enunciado

UFES, 2018.1, Lista 3, Q09

9) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 0 ⁡ x + 2 +   x + 6 -   6 -   2 x

Passo 1

Eaí galeraa, vamo matar mais um limite?!

Primeiro, a gente tem que substituir por x = 0 a função do limite para verificar se tem alguma impossibilidade matemática.

lim x → 0 ⁡ x + 2 +   x + 6 -   6 -   2 x = 0 + 2 +   0 + 6 - 6 - 2 x = 0 0

Deu ruim. 0 0 é uma impossibilidade matemática.

Passo 2

Agora temos que pensar em como conseguir tirar o x do denominador. Nós sabemos que:

x + 2 +   x + 6 -   6 -   2 x = x + 6 -   6 x + x + 2 -   2 x

=   x + 6 -   6 x ⋅ x + 6 + 6 x + 6 + 6 + x + 2 -   2 x ⋅ x + 2 +   2 x + 2 +   2  

= x x ⋅ x + 6 + 6 + x x ⋅ x + 2 +   2 = 1 x + 6 + 6 + 1 x + 2 +   2

Olha que massa, conseguimos cancelar o x do denominador, agora com a expressão final que desenvolvemos, podemos substituir x por 0   sem chegar em uma impossibilidade matemática.

Passo 3

Daí, reescrevendo o limite temos que:

lim x → 0 ⁡ x + 2 +   x + 6 -   6 -   2 x = lim x → 0 ⁡ 1 x + 6 + 6 + 1 x + 2 +   2

=   1 0 + 6 + 6 + 1 0 + 2 +   2   = 1 2 6 + 1 2 2 = 6 +   2 2 6 2 = 6 +   2 4 3

Resposta

lim x → 0 ⁡ x + 2 +   x + 6 -   6 -   2 x =   6 +   2 4 3

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