6) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique. lim x → 1 2 ⁡ 2 x 2 + 5 x - 3 2 x 2 - 5 x + 2

Passo 1

Bora resolver esse limite!

A primeira coisa que devemos fazer é substituir x = 1 2 na função a qual está sendo aplicado o limite e verificar se ocorre alguma impossibilidade ou indeterminação matemática como k 0 ou 0 0 (onde k é um número qualquer).

Assim, temos:

f x = 2 x 2 + 5 x - 3 2 x 2 - 5 x + 2     ⇒ f 1 2 = 0 0  

Poxa, nesse caso deu uma indeterminação matemática. Então, vamos ter um pouco mais de trabalho para remover essa indeterminação.

Passo 2

Já que não deu certo apenas substituir   x = 1 2 , e como temos polinômios no numerador e denominador nos quais x = 1 2 é raiz, uma boa alternativa é fatorar esses polinômios. Vamos relembrar então o teorema da decomposição dos polinômios:

Seja:

p x = a n . x n + a n - 1 . x n - 1 + ⋯ + a 1 .   x + a 0 ,

onde α 1 ,   α 2 ,   ⋯ ,   α n são raízes de p ( x ) .

Podemos escrever que:

p x = a n x -   α 1 x -   α 2 . ⋯ . ( x - α n )

Aplicando isso aos polinômios que estão no numerador e denominador dessa questão, temos:

p N ( x ) =   2 x 2 + 5 x - 3 = 2 ( x - 1 2 ) ( x + 3 )

p D ( x ) =   2 x 2 - 5 x + 2 = 2 ( x - 1 2 ) ( x - 2 )

Passo 3

Agora que conseguimos fatorar os polinômios, vamos reescrever o limite pedido:

lim x → 1 2 ⁡ 2 x 2 + 5 x - 3 2 x 2 - 5 x + 2 = lim x → 1 2 ⁡ 2 x - 1 2 x + 3 2 x - 1 2 x - 2 = lim x → 1 2 ⁡ x + 3 x - 2  

Ótimo! Conseguimos cancelar a parte dos polinômios que estava causando a indeterminação. Agora podemos finalmente substituir x por 1 / 2 :

lim x → 1 2 ⁡ x + 3 x + 2 = 1 2 + 3 1 2 - 2 =   -   7 3  

Resposta

lim x → 1 2 ⁡ 2 x 2 + 5 x - 3 2 x 2 - 5 x + 2 = - 7 3

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