UFES, 2018.1, Lista 3, Q06
6) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Bora resolver esse limite!
A primeira coisa que devemos fazer é substituir na função a qual está sendo aplicado o limite e verificar se ocorre alguma impossibilidade ou indeterminação matemática como ou (onde é um número qualquer).
Assim, temos:
Poxa, nesse caso deu uma indeterminação matemática. Então, vamos ter um pouco mais de trabalho para remover essa indeterminação.
Passo 2
Já que não deu certo apenas substituir , e como temos polinômios no numerador e denominador nos quais é raiz, uma boa alternativa é fatorar esses polinômios. Vamos relembrar então o teorema da decomposição dos polinômios:
Seja:
,
onde são raízes de .
Podemos escrever que:
Aplicando isso aos polinômios que estão no numerador e denominador dessa questão, temos:
Passo 3
Agora que conseguimos fatorar os polinômios, vamos reescrever o limite pedido:
Ótimo! Conseguimos cancelar a parte dos polinômios que estava causando a indeterminação. Agora podemos finalmente substituir por :