a) Calcule o limite
Passo 1
Opa, vamos lá. A primeira cosia que a gente tem que tentar fazer é substituir e ver o que que dá. Vamos lá então:
Puts, não deu certo! Deu uma indeterminação. Então vamos precisar reescrever esse limite da forma:
Afinal, já sabemos que é raiz do polinômio do numerador e do denominador. Vamos achar e então.
Passo 2
Achando
Começando pelo numerador, dá uma olhada boa nele:
Não é que ele é uma diferença de quadrados?
Um produto notável que envolve diferença de quadrados é o seguinte:
Se nesse caso , temos:
E prontinho, achamos , saca só:
Passo 3
Achando
Aqui a ideia muda um pouco, porque não temos mais uma diferença de quadrados apesar de o polinômio do denominador ser de segundo grau também. Ok, mas ainda assim dá pra gente tirar de letra. Como? Usando a famosa e querida fórmula de Bháskara. Saca só, se temos:
Podemos reescrever para
Onde são as raízes do polinômio, dadas por:
Nesse caso, temos:
Então temos:
O polinômio de segundo grau fica:
E foi-se também, saca só:
Passo 4
Calculando o limite
Agora é só calcular o limite mesmo. Se:
E
O limite fica:
Dessa vez se substituirmos não vai ter indeterminação e vamos conseguir calcular o limite! Então vambora calcular: