Calcule os limites abaixo, caso existam. Caso não existam, justifique.

b ) lim x → 2 ⁡ x - 1 - 1 x - 2

Passo 1

Oi oi oi, tudo tranquilo por aí?

Nessa questão precisamos resolver o limite:

lim x → 2 ⁡ x - 1 - 1 x - 2

O primeiro passo é sempre substituir x pelo número que ele está tendendo. Fazendo isso aqui, temos:

lim x → 2 ⁡ x - 1 - 1 x - 2 = lim x → 2 ⁡ 2 - 1 - 1 2 - 2 = 0 0

Putsss, uma indeterminação matemática!

Precisaremos nos livrar dela de alguma forma!

Vocês têm alguma ideia?

Pra remover essa indeterminação precisamos fazer aparecer o fator ( x - 2 ) no numerador. Uma ideia legal nesse caso é tentar fazer o processo inverso da racionalização, ou seja, fazer essa raiz sumir do numerador. É basicamente usar a diferença de quadrados clássica:

y - 1 y + 1 = y 2 - 1

Então, essa é a estratégia que vamos utilizar!

Vamo nessa?

Passo 2

Queremos remover o termo ( x - 2 ) da expressão:

x - 1 - 1 x - 2

Para isso, vamos usar a diferença de quadrados numa ideia parecida com o inverso da racionalização haha. Ou seja, vamos multiplicar a nossa expressão dentro do limite por:

x - 1 + 1 x - 1 + 1

Assim, teremos:

x - 1 - 1 x - 2 ⋅ x - 1 + 1 x - 1 + 1

Daí vem a ideia da diferença de quadrados:

Fazendo x - 1 = y , temos:

y - 1 x - 2 ⋅ y + 1 y + 1 = y 2 - 1 x - 2 ⋅ 1 y + 1

Saindo de y e voltando para x - 1 ,   vamos ter que:

y 2 - 1 x - 2 ⋅ 1 y + 1 = x - 1 2 - 1 x - 2 ⋅ 1 x - 1 + 1

= x - 2 x - 2 ⋅ 1 x - 1 + 1

=   1 x - 1 + 1

Olha que lindo, né galera 😊

Perfeito!

Passo 3

Vamos agora trocar a expressão dentro do limite por aquela que encontramos.

Daí, vem:

lim x → 2 ⁡ x - 1 - 1 x - 2 =   lim x → 2 ⁡ 1 x - 1 + 1

Substituindo x = 2 dentro dessa expressão (agora que removemos a indeterminação podemos fazer isso sem peso na consciência hahah)

lim x → 2 ⁡ 1 x - 1 + 1 = 1 2 - 1 + 1

= 1 2  

Portanto:

lim x → 2 ⁡ x - 1 - 1 x - 2 = 1 2

Aeeee! Terminamos!

Agora é só tomar um cafezinho, dar uma respirada e vamo pra próximaaa hahaha!

Resposta

lim x → 2 ⁡ x - 1 - 1 x - 2 = 1 2

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