11.5 Calcule os limites abaixo de forma detalhada e sem usar o Teorema de L’Hospital:

b) lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x .

Como temos uma parada dentro do seno, que vai pra infinito, vamos usar o teorema do confronto.

Passo 2

Lembrando que seno varia entre -1 e 1:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x ≤ 1

Multiplicando cada um por x :

- x ≤ x sen ⁡ 1 x ≤ x

Agora aplicamos o limite de x tendendo a zero:

lim x → 0 ⁡ - x ≤ lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x ≤ 0

Pelo teorema do confronto:

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x = 0

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