Calcule os limites abaixo:

b) lim x → a ⁡ x - a x 3 - a 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f x = x - a x 3 - a 3 quando x se aproxima de a .

Se a gente substituir x = a na função, vamos ter uma indeterminação do tipo 0 0 e não temos nenhum outro método que possa nos tirar dessa indeterminação. Então, vamos recorrer ao nosso amigo L’Hospital que criou a regrinha pra gente conseguir derivar a função no numerador e no denominador separadamente e em seguida aplicar o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Derivando o numerador e o denominador de f x = x - a x 3 - a 3 separadamente, vamos ter:

lim x → a ⁡ x - a x 3 - a 3 = lim x → a ⁡ 1 2 x 1 3 x 2 3

Agora podemos aplicar o limite por substituição direta, fazendo x = a , e temos:

= 1 2 a 1 3 a 2 3

Simplificando vamos ter:

= 3 2 a 6

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → a ⁡ x - a x 3 - a 3 = 3 2 a 6

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