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Exercícios Resolvidos de Quociente de Polinômios com x → Constante

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - Profº Hamilton Simões - Lista 1, Questão 1e

Calcule os limites abaixo

lim x → 2 k ⁡ k x 3 - k 2 x 2 - 4 k 4 k 2 - x - 3 k 2

Passo 1

Oie bora resolver essa comigo

Para calcular esse limite, podemos usar a técnica de substituição direta, que consiste em substituir o valor de x pelo valor para o qual o limite está sendo calculado, neste caso, 2 k

Vamos calcular o limite:

lim x → 2 k ⁡ k x 3 - k 2 x 2 - 4 k 4 k 2 - x - 3 k 2

= k 2 k 3 - k 2 2 k 2 - 4 k 4 k 2 - 2 k - 3 k 2  

= 8 k 4 - 4 k 4 - 4 k 4 k 2 - - k 2

= 0 0

Neste ponto, encontramos uma forma indeterminada 0 / 0   ue significa que precisamos aplicar uma técnica de simplificação adicional, como a regra de L'Hôpital, para resolver esse limite.

Passo 2

Vamos aplicar a regra de L'Hôpital, que envolve a derivação das funções no numerador e no denominador separadamente:

lim x → 2 k ⁡ k x 3 - k 2 x 2 - 4 k 4 k 2 - x - 3 k 2

lim x → 2 k ⁡ d d x k x 3 - k 2 x 2 - 4 k 4 d d x k 2 - x - 3 k 2

l i m x → 2 k 3 k x 2 - 2 k 2 x - 2 ( x - 3 k )

= 12 k 3 - 4 k 3 - 2 - k

= 8 k 3 2 k

= 4 k 2

Portanto, o limite é igual a 4 k 2

Resposta

Portanto, o limite é igual a 4 k 2

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