UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Limites e Continuidade, Questão 6.10b
Calcule os limites abaixo (sem usar L’Hopital).
Passo 1
E aí pessoal, como vocês estão?
Nessa questão precisamos resolver o seguinte limite quando se aproxima de pela esquerda (ou seja, por valores menores do que ):
Mas, ainda que satisfaça as condições da regra de L’hopital, não poderemos usá-la nesse problema, beleza?
Bom, seguindo a primeira etapa de qualquer limite, sempre começamos substituindo o valor que está tendendo pra ver se já matamos o limite ou se caímos em alguma indeterminação.
Assim:
Puts, temos uma indeterminação matemática: .
Sendo assim, precisamos remover essa indeterminação do nosso limite pra conseguir calculá-lo. Como temos uma função dentro do limite que é a razão de dois polinômios, a ideia geral nesse tipo de caso é tentar fatorar os polinômios até que os fatores responsáveis pela indeterminação se cancelem.
Vem comigo que isso vai ficar bem clarinho 😉
Passo 2
Bom, queremos remover a indeterminação através da fatoração do polinômio no numerador e no denominador.
Vamos começar pelo numerador, temos:
Lembram do produto notável da diferença de quadrados?
Podemos usá-la pra fatorar a nossa expressão:
Muito bom!
Vamos agora para o denominador! Temos:
Uma das raízes é , pois vimos no passo que ao substituir no denominador ele zera.
Além disso, como o produto das raízes precisa valer o termo independente do polinômio do grau, temos que:
Ou seja, é uma raiz dupla e podemos decompor o nosso polinômio como:
Substituindo essas dentro da nossa função do limite, temos:
Colocando em evidência tanto no numerador como no denominador, temos:
Massa! Podemos substituir essa expressão lá no nosso limite. Teremos:
Substituindo o valor que está tendendo, teremos:
Ou seja, o nosso denominador tende a , e como ele se aproxima por números menores do que , a subtração , ou seja, tende a por números negativos. E, o numerador vale .
Assim, temos uma constante sendo dividida por um número negativo que se aproxima cada vez mais de .
O resultado disso é . Portanto:
Prontinho!! Curtiram a solução? Responde Aí!