UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Limites e Continuidade, Questão 6.10c
Calcule os limites abaixo (sem usar L’Hopital).
Passo 1
Faaaaaala gente bonita do Responde Aí, como vocês estão?
Nessa questão precisamos calcular o seguinte limite:
Mas, mesmo que satisfaça as condições da regra de L’hopital, não poderemos utilizá-la beleza?
Então, como sempre começamos substituindo o valor que está tendendo dentro da nossa função. Assim, vemos se já conseguimos determinar o valor do limite ou se temos alguma indeterminação.
Puts, dentro do argumento do cosseno estamos dividindo por zero, mas qual é o mandamento?
“Nunca dividirás por zero!!”
Portanto, isso se caracteriza como uma indeterminação, e precisamos pensar como calcular esse limite mesmo sem saber o valor do argumento da função trigonométrica.
Uma ideia interessante é utilizarmos uma consequência do teorema do confronto, que diz que:
Se:
Então:
Massa! Vem comigo que vamos entender melhor essa ideia!
Passo 2
Bom, pessoal, a função que estamos querendo calcular o limite pode ser dada por:
Mas, vocês lembram que a função cosseno é limitada entre e . Ou seja, independente do ângulo no seu argumento, o menor valor que ela assume é e o maior é .
Assim, podemos dizer que:
Daí, multiplicando por em todos os lados da desigualdade (e, como é sempre positivo, pois o expoente é par, o sentido da desigualdade não se inverte nessa multiplicação), temos:
Massa! Então agora temos uma desigualdade com nossa função de interesse, e pelo teorema do confronto podemos aplicar o limite em todos os lados.
Assim:
Muito bom!
Passo 3
Chegamos que:
Vamos calcular os limites das extremidades dessa desigualdade!
Temos:
E:
Assim, podemos reescrever a desigualdade como:
Loogooo, qual a conclusão que chegamos??
Isso aí:
Aeeee! Conseguimos gente!
Curtiram a solução? Responde Aí 😉