Calcule os limites indicados abaixo, utilizando as propriedades de limite:

e) lim (x→9) (x * raiz(x)) / (x^2 - 1) f) lim (x → +∞) (2 * x^3 + x - 1) / (3 * x^2 + 2)

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

Precisamos estimar os seguintes limites

e )   l i m x → 9 x x x 2 - 1 f ) l i m x → + ∞ 2 x 3 + x - 1 3 x 2 + 2

cada limite usa uma técnica diferente, portanto, vamos avaliar caso a caso! A primeira coisa que costumamos tentar é avaliar o limite no valor indicado, para a primeira isso dará certo! Mas, a segunda nos dará uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , portanto, precisaremos reescrever o limite! Vamos lá!

Passo 2

Primeiramente temos que resolver o seguinte limite

l i m x → 9 x x x 2 - 1

Note que em x = 9 não temos nenhuma indeterminação, podemos simplesmente definir o valor como

l i m x → 9 x x x 2 - 1 = ( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) 2 - 1 = 27 80

Sem nenhum segredo! O limite é isso! Bora para o próximo!

Passo 3

Vamos fazer agora o limite

l i m x → + ∞ 2 x 3 + x - 1 3 x 2 + 2

ele tem uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ quando avaliamos x → + ∞ , portanto, precisamos reescrever um pouco o nosso limite! Quando temos limites no infinito de razões de polinômios é sempre conveniente dividir o numerador e denominador pelo termo de maior ordem, em nosso caso x 3 , portanto, temos que

l i m x → + ∞ 2 x 3 + x - 1 3 x 2 + 2 = l i m x → + ∞ 2 x 3 / x 3 + x / x 3 - 1 / x 3 3 x 2 / x 3 + 2 / x 3 = l i m x → + ∞ 2 + 1 / x 2 - 1 / x 3 3 / x + 2 / x 3

Como temos que infinito é a representação de um número muuuuito grande! Temos que as razões com infinito no denominador tendem a zero, portanto, temos que

l i m x → + ∞ 2 + 1 / x 2 - 1 / x 3 3 / x + 2 / x 3 = 2 + 0 - 0 0 + 0 = 2 0

Uma divisão por zero? Usualmente isso não faz sentido, mas lembre, aqui não temos exatamente zero e sim um número muito pequeno (tendendo a zero), quando se divide um número por algo muito pequeno, esse número tende a ser muito grande, portanto, temos que

l i m x → ∞ 2 x 3 + x - 1 3 x 2 + 2 = ∞

A questão foi isso! Até a próxima! Tchauzinho!

Resposta

e )   l i m x → 9 x x x 2 - 1 = 27 80 f ) l i m x → + ∞ 2 x 3 + x - 1 3 x 2 + 2 = ∞

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