Calcule os seguintes limites:

lim(x → 2) (raiz(5 + 2x) - 3) / (2 - x)

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

Temos a expressão 5 + 2 x - 3 2 - x , e queremos calcular o limite dessa expressão quando x se aproxima de 2. Matematicamente, escrevemos isso da seguinte forma:

l i m x → 2   5 + 2 x - 3 2 - x

Passo 2

Para calcular o limite, substituímos o valor de x na expressão √ ( 5   +   2 x )   -   3 )   /   ( 2   -   x )

e avaliamos o resultado. Nesse caso, vamos substituir x por 2:

( √ ( 5   +   2   *   2 )   -   3 )   /   ( 2   -   2 )   =   ( √ 9   -   3 )   /   0

Aqui, temos uma indeterminação do tipo 0/0, o que significa que precisamos simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão racionalizando o numerador:

( √ 9   -   3 )   /   0   =   ( 3   -   3 )   /   0   =   0   /   0

Neste ponto, ainda não podemos avaliar o limite diretamente devido à indeterminação.

( √ 1   +   1   -   2 )   /   ( 1   +   1 )   =   ( 1   +   1   -   2 )   /   ( 1   +   1 )   =   0   /   2   =   0

A indeterminação 0/0 permite aplicar a Regra de L'Hôpital. Derivaremos tanto o numerador quanto o denominador em relação a x e depois avaliaremos o limite novamente.

Derivando o numerador:

d / d x   ( √ ( 5   +   2 x )   -   3 )   =   ( 1 / 2 √ ( 5   +   2 x ) )   *   2   =   1 / √ ( 5   +   2 x )

Agora podemos reescrever o limite utilizando as derivadas:

l i m ⁡ x → 2 ⁡ ( 1 / √ ( 5   +   2 x ) )   /   ( - 1 )

Agora substituímos novamente o valor de x na expressão derivada:

( 1 / √ ( 5   +   2   *   2 ) )   /   ( - 1 )   =   ( 1 / √ 9 )   /   ( - 1 )   =   ( 1 / 3 )   /   ( - 1 )   =   - 1 / 3

Após avaliar a expressão, chegamos ao resultado:

l i m x → 2   5 + 2 x - 3 2 - x =   - 1 3

Resposta

- 1 3

Exercícios de Livros Relacionados