Calcule os seguintes limites:

lim(x → 0) (3 / x) * (1 / (5 + x) - 1 / (5 - x))

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

Temos a expressão 3 x   ( 1 5 + x - 1 5 - x ) , e queremos calcular o limite dessa expressão quando x se aproxima de 2. Matematicamente, escrevemos isso da seguinte forma:

l i m x → 0 3 x   ( 1 5 + x - 1 5 - x )

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão:

3 / x   *   ( 1 / ( 5 + x )   -   1 / ( 5 - x ) )   =   ( 3   *   ( 1 / ( 5 + x )   -   1 / ( 5 - x ) ) )   /   x

Vamos encontrar o denominador comum para as frações no numerador:

Denominador comum =   ( 5 + x ) ( 5 - x )

Agora, podemos reescrever as frações com o denominador comum:

( 3   *   ( ( 5 - x )   -   ( 5 + x ) )   /   ( ( 5 + x ) ( 5 - x ) ) )   /   x

Vamos simplificar o numerador:

( 3   *   ( - 2 x )   /   ( ( 5 + x ) ( 5 - x ) ) )   /   x

Após simplificar a expressão, chegamos ao resultado:

( 3   *   ( - 2 ) )   /   ( ( 5 + 0 ) ( 5 - 0 ) )   =   - 6   /   25

Passo 3

Após simplificar a expressão, chegamos ao resultado:

l i m x → 0 3 x   1 5 + x - 1 5 - x = - 6 25

Portanto, o limite de 3 x   1 5 + x - 1 5 - x conforme x se aproxima de 0 é igual a -6/25. Isso significa que, à medida que x se aproxima de 0, a expressão 3 x   1 5 + x - 1 5 - x se aproxima de -6/25.

Resposta

- 6 / 25

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