Calcule os seguintes limites:

lim(x → 1) (x^3 + 4x^2 - 5x) / (1 - x^3)

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

Temos a expressão x 3 + 4 x 2 - 5 x ( 1 - x ³ ) , e queremos calcular o limite dessa expressão quando x se aproxima de 4. Matematicamente, escrevemos isso da seguinte forma:

l i m x → 1 x 3 + 4 x 2 - 5 x ( 1 - x ³ )

Passo 2

Para evitar uma indeterminação (0/0) no limite, vamos fatorar o numerador e o denominador:

x 3 +   4 x 2 -   5 x =   x x 2 +   4 x   -   5 =   x x   +   5 x   -   1

( 1   -   x �� )   =   - ( x ³   -   1 )   =   - ( x   -   1 ) ( x ^ 2   +   x   +   1 )

Portanto, a expressão pode ser reescrita como:

l i m x → 1 x (   x + 5 ) ( x - 1 ) - ( x - 1 ) ( x 2 + x + 1 )

Passo 3

Agora, podemos cancelar o fator comum "(x - 1)" no numerador e no denominador:

l i m x → 1 x (   x + 5 ) - ( x 2 + x + 1 )

Agora podemos substituir o valor de x na expressão x (   x + 5 ) - ( x 2 + x + 1 )   e avaliar o resultado. Nesse caso, vamos substituir x por 2:

( 1 ( 1   +   5 )   /   - ( 1 ^ 2   +   1   +   1 ) )   =   ( 6   /   - ( 1   +   1   +   1 ) )   =   ( 6   /   - 3 )   =   - 2

Após substituir o valor de x na expressão, chegamos ao resultado:

l i m x → 1 x 3 + 4 x 2 - 5 x ( 1 - x ³ ) =   - 2

Resposta

-2

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