UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - 1ª Lista - 2023.1
Calcule os seguintes limites:
Passo 1
E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!
Temos a expressão, e queremos calcular o limite dessa expressão quando x se aproxima de 3. Matematicamente, escrevemos isso da seguinte forma:
Passo 2
Para evitar uma indeterminação (0/0) no limite, vamos fatorar o numerador e o denominador:
A multiplicação pelo conjugado permite eliminar a raiz no numerador:
Podemos aplicar a fórmula da diferença de quadrados (a² - b² = (a + b)(a - b)) para simplificar o numerador:
Agora simmmmm podemos simplificar a expressão:
Passo 3
Agora, podemos cancelar o fator comum "(x - 3)" no numerador e no denominador:
Agora podemos substituir o valor de x na expressão 1 / (√x + √3) e avaliar o resultado. Nesse caso, vamos substituir x por 3:
Para simplificar o resultado, podemos racionalizar o denominador multiplicando tanto o numerador quanto o denominador por (√3 - √3):
O termo (√3 - √3) no numerador é igual a zero, e o termo (√3 - √3) no denominador também é zero. Portanto, a expressão final é:
Passo 4
Após avaliar a expressão, chegamos ao resultado:
Portanto, o limite de (√x - √3) / (x - 3) conforme x se aproxima de 3 é igual a √3 / 6. Isso significa que, à medida que x se aproxima de 3, a expressão (√x - √3) / (x - 3) se aproxima de √3 / 6.