Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.

i) lim x → 0 + ⁡ ( x - 1 - ln ⁡ ( x ) )

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Vocês estão prontos para começar?

Nessa questão vamos ter que calcular limites de funções apresentadas no enunciado. Os limites nada mais são que uma forma de analisar o comportamento de uma função à medida em que seu argumento se aproxima de um dado valor. Vamos resolver essa questão?

Bom, primeiramente podemos reescrever o limite. Usando a seguinte propriedade.

lim x → c ⁡ a - b = lim x → c ⁡ a - lim x → c ⁡ b

Veja só:

lim x → 0 + ⁡ ( x - 1 - ln ⁡ x ) = lim x → 0 + ⁡ ( x - 1 ) - lim x → 0 + ⁡ ( ln ⁡ ( x ) )

Passo 2

Vamos agora calcular cada limite separadamente.

Calculando o primeiro limite. Observe o gráfico dessa função.

Logo,

lim x → 0 + ⁡ ( x - 1 ) = ∞

Calculando o segundo limite, podemos também verificar o comportamento da função pelo seu gráfico

Logo

lim x → 0 + ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) = - ∞

Passo 3

Por fim, subtraindo os valores, temos

lim x → 0 + ⁡ ( x - 1 ) - lim x → 0 + ⁡ ( ln ⁡ x ) = ∞ - ( - ∞ ) = ∞

Até a próxima!

Resposta

lim x → 0 + ⁡ ( x - 1 - ln ⁡ x ) = ∞

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