Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.

i) lim x → 0 ⁡ ( ln ⁡ x 2 - x - 2 )

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Pegue seu cafezinho e vamos começar!

Nessa questão vamos ter que calcular limites de funções apresentadas no enunciado. Os limites nada mais são que uma forma de analisar o comportamento de uma função à medida em que seu argumento se aproxima de um dado valor. Vamos resolver essa questão?

Vamos ter que calcular o limite, tanto pela esquerda, quanto pela direita.

Bom, primeiramente podemos reescrever o limite. Usando a seguinte propriedade.

lim x → c ⁡ a - b = lim x → c ⁡ a - lim x → c ⁡ b

Veja só:

lim x → 0 ⁡ ( ln ⁡ x 2 - x - 2 ) = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 - lim x → 0 ⁡ x - 2

Passo 2

Vamos agora calcular cada limite separadamente.

No primeiro vamos utilizar uma propriedade de logaritmos

ln ⁡ ( x a ) = a ln ⁡ x

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 = lim x → 0 ⁡ 2 ln ⁡ ( x )

Calculando pela esquerda:

Percebemos que não existe este limite, pois a função ln ⁡ ( x ) existe somente para x > 0 . Observe no gráfico

lim x → 0 - ⁡ 2 ln ⁡ ( x ) ⇒ n ã o   e x i s t e

Calculando pela direita:

lim x → 0 + ⁡ 2 ln ⁡ ( x ) = - ∞

No segundo limite teremos

lim x → 0 ⁡ x - 2

Calculando pela esquerda:

lim x → 0 - ⁡ x - 2 = ∞

Calculando pela esquerda:

lim x → 0 + ⁡ x - 2 = ∞

Passo 3

Por fim, subtraindo os valores pela esquerda e pela direita, temos

Pela esquerda:

lim x → 0 - ⁡ ( ln ⁡ x 2 - x - 2 ) = n ã o   e x i s t e - ∞ = - ∞

Pela direita:

lim x → 0 + ⁡ ( ln ⁡ x 2 - x - 2 ) = - ∞ - ∞ = - ∞

Como

lim x → 0 - ⁡ ( ln ⁡ x 2 - x - 2 ) = lim x → 0 + ⁡ ( ln ⁡ x 2 - x - 2 ) = - ∞

O limite existe então

lim x → 0 ⁡ ( ln ⁡ x 2 - x - 2 ) = - ∞

Até a próxima!

Resposta

lim x → 0 ⁡ ( ln ⁡ x 2 - x - 2 ) = - ∞

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