Calcule os seguintes limites

i ) lim x → 0 ⁡ e x - e - x - 2 x x - sin ⁡ x

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos calcular esse limite aqui

lim x → 0 ⁡ e x - e - x - 2 x x - sin ⁡ x

Nosso primeiro instinto é substituir o x , mas fazendo isso encontramos 0 / 0

E agora, como sair daqui?

Quando encontramos 0 / 0 ou ∞ / ∞ temos uma indeterminação! E para sair disso precisamos aplicar a regra de L’Hopital:

lim x → x 0 ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → x 0 ⁡ f x ' g x '

Vamos derivar em cima, derivar embaixo e avaliar novamente o limite! Vamos seguir com esse processo até sair da indeterminação, beleza?

Bora começar?

Passo 2

Agora vamos começar derivando em cima e embaixo no limite

lim x → 0 ⁡ e x - e - x - 2 x x - sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ e x + e - x - 2 1 - cos ⁡ x =

E agora avaliar de novo o limite

= 1 + 1 - 2 1 - 1 = 0 0

Poxa vida, encontramos novamente uma indeterminação! Quando isso acontecer, você precisa derivar novamente em cima e embaixo e avaliar de novo o limite! Vai repetindo isso até sair da indeterminação! Beleza?

Derivando novamente temos

lim x → 0 ⁡ e x - e - x 1 + sin ⁡ x

E avaliando no limite

1 - 1 1 = 0

Pronto! Temos nosso limite!

Espero ter ajudado! Vamos treinar mais?

Resposta

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