UFPE – Cálculo 1 – 1º EE – 2022.1 – Questão 1b.
1) Calcule os seguintes limites (Não é permitido o uso da regra de l’Hôspital):
b)
Passo 1
Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?
Bora resolver esse limite juntinhos?
Bom, essa questão deu pra gente um limite para calcular e a primeira coisa que fazemos quando precisamos calcular um limite de uma função é tentar substituir o valor da variável pela sua tendência.
A função que queremos calcular o limite é
O limite é quando tente a . Isso fica indicado na parte de baixo do limite como .
Então vamos tentar substituir esse valor diretamente na função e ver se conseguimos calcular esse limite.
Vem comigo que te ajudo com isso!
Passo 2
Como o limite que queremos calcular é
E temos:
E ficamos com:
Resolvendo:
Opaaaaa!!!
Isso aí não pode, não!!!
Ao fazermos essa substituição na maior ingenuidade do mundo, a função trapaceou a gente e caiu em uma indeterminação do tipo
Mas calma, vamos precisar de uns detalhes a mais pra provar que somos mais espertos que ela. Segura a minha mão e só vem!
Passo 3
Vamos recomeçar a brincadeira mexendo um pouco na função pra deixá-la mais bonita e evitar que ela caia nessa indeterminação de novo. Pra isso, vamos racionalizar o denominador da função multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado do denominador.
Ao fazermos isso, já te adianto que cairemos novamente em uma indeterminação. Pois ficaremos com:
E aplicando o limite, ficamos com:
Viu, eu avisei!!! Mas vamos tentar mais um pouco. Vamos pegar o conjugado do numerador também pra multiplicar em cima e embaixo. Vamos fazer isso no próximo passo.
Passo 4
E com um pouquinho mais de paciência, teremos:
Agora sim. Ficaremos com esse limite aqui pra calcular:
Que ajeitando fica:
Não gostou, né. Sei que você deve estar pensando que vai cair em uma indeterminação novamente, mas calma. Repare na primeira fração que temos ali:
Por definição, , pois o tende a , mas ele nunca será, de fato, . Então essa fração terá resultado igual a:
Parece bruxaria, mas juro que você pode fazer isso, porque o nunca será 2 de verdade! Então vamos usar nossos poderes pra encaixar esse resultado no nosso limite e seguir o baile com o que sobrou.
Assim:
Substituindo , teremos:
E finalmente poderemos falar que:
E prontinho! Encontramos nossa resposta!