3. Calcule os seguintes limites (Não pode usar a regra de L ’ H ô s p i t a l ):

d) lim y → 0 ⁡ s e n 5 y s e n 3 y

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, estamos interessados em calcular alguns limites, porém a única regra é que não podemos usar a regra de L ' H o p i t a l .

Entendeu?

A regra de L ' H o p i t a l nos ajuda muito quando temos uma indeterminação como resultado de um limite pelo método da substituição.

Porém existem alguns outros métodos que podemos aplicar a algumas analises matemáticas, com isso, vamos ter que analisar cada caso separadamente para ver qual é a melhor maneira de resolver o problema.

Sacou? Bora lá! 😁

Passo 2

O limite que temos que calcular é

lim y → 0 ⁡ s e n 5 y s e n 3 y

Para resolver esse problema, temos que multiplicar tudo por y

lim y → 0 ⁡ s e n 5 y s e n 3 y · y y

Dessa forma, podemos dividir esse limite em dois, veja só

lim y → 0 ⁡ s e n 5 y y s e n 3 y y = lim y → 0 ⁡ s e n 5 y y · lim y → 0 ⁡ y s e n 3 y

Isso porque reescrevemos lim y → 0 ⁡ s e n 5 y s e n 3 y · y y como s e n 5 y y · y s e n 3 y . Entendeu?

Para o primeiro limite, vamos chamar 5 y de t , assim t → 0 , ou seja

lim y → 0 ⁡ s e n 5 y y → lim t → 0 ⁡ 5 s e n t t → 5 lim t → 0 ⁡ s e n t t

O limite de s e n t t é um limite bastante conhecido e já vimos que é igual a 1 , então

5 lim t → 0 ⁡ s e n t t = 5

Agora para o limite de y s e n 3 y , vamos chamar 3 y de k e portanto k → 0

lim k → 0 ⁡ 1 3 k s e n k → 1 3 lim k → 0 ⁡ k s e n k

Se lim t → 0 ⁡ s e n t t = 1 , então o inverso também é valido, não é? Ou seja lim k → 0 ⁡ k s e n k = 1

1 3 lim k → 0 ⁡ k s e n k = 1 3

Substituindo esses resultados no nosso problema, temos

lim y → 0 ⁡ s e n 5 y s e n 3 y = lim y → 0 ⁡ s e n 5 y y · lim y → 0 ⁡ y s e n 3 y

lim y → 0 ⁡ s e n 5 y s e n 3 y = 5 · 1 3

lim y → 0 ⁡ s e n 5 y s e n 3 y = 5 3

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim y → 0 ⁡ s e n 5 y s e n 3 y = 5 3

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