As desigualdades 1 - x 6 6 < x sin ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x < 1 são verdadeiras para valores de x próximos de zero. O que dizer a respeito de lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado disse que a função x sin ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x tá entre a função 1 - x 6 6 e 1 . Ele quer saber o que podemos dizer sobre o limite dessa função do meio.

Bom, existe um teorema que nos diz que se uma função está entre duas outras funções e nós conhecemos os limites dessas outras funções, e esses limites tem o mesmo valor, então o limite dessa função do meio também vai ser igual. Ficou confuso?

Calma que nós vamos desenrolar. Esse teorema é conhecido como Teorema do Sanduíche ou Teorema do confronto. Imagine que o recheio desse sanduíche é a função h ( x ) , e que a gente sabe que f x ≤ h x ≤ g ( x ) . Se, por acaso, tivermos que lim x → a ⁡ f ( x ) = lim x → a ⁡ g ( x ) = L , então:

lim x → a ⁡ h ( x ) = L

Sacou? Então, nós não precisamos calcular o limite daquela função trigonométrica mais complicada, vamos apenas verificar os limites de f x = 1 - x 6 6 e de g x = 1 , e se eles forem iguais, teremos o valor do limite de h x = x sin ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite de f x = 1 - x 6 6 quando x tende a zero:

lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ 1 - x 6 6

Substituindo x = 0 , temos:

1 - 0 6 6 = 1

Logo,

lim x → 0 ⁡ 1 - x 6 6 = 1

Agora para g x = 1 , temos:

lim x → 0 ⁡ g x = lim x → 0 ⁡ 1 = 1

Porque o limite de uma constante é igual a ela mesma.

Então, da desigualdade:

1 - x 6 6 < x sin ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x < 1

Aplicando o limite em tudo:

l i m x → 0 1 - x 6 6 < l i m x → 0 x sin ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x < l i m x → 0 ( 1 )

1 < l i m x → 0 x sin ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x < 1

Assim, pelo Teorema do confronto:

l i m x → 0 x sin ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x = 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

l i m x → 0 x sin ⁡ x 2 - 2 cos ⁡ x = 1

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