UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, 1º Estágio - 2016.1, Questão 3
As desigualdades são verdadeiras para valores de próximos de zero. O que dizer a respeito de ?
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado disse que a função tá entre a função e . Ele quer saber o que podemos dizer sobre o limite dessa função do meio.
Bom, existe um teorema que nos diz que se uma função está entre duas outras funções e nós conhecemos os limites dessas outras funções, e esses limites tem o mesmo valor, então o limite dessa função do meio também vai ser igual. Ficou confuso?
Calma que nós vamos desenrolar. Esse teorema é conhecido como Teorema do Sanduíche ou Teorema do confronto. Imagine que o recheio desse sanduíche é a função , e que a gente sabe que . Se, por acaso, tivermos que , então:
Sacou? Então, nós não precisamos calcular o limite daquela função trigonométrica mais complicada, vamos apenas verificar os limites de e de , e se eles forem iguais, teremos o valor do limite de .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando o limite de quando tende a zero:
Substituindo , temos:
Logo,
Agora para , temos:
Porque o limite de uma constante é igual a ela mesma.
Então, da desigualdade:
Aplicando o limite em tudo:
Assim, pelo Teorema do confronto:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉