Determine se cada limite abaixo existe e, caso afirmativo, determine seu valor:

b) lim x → 0 ⁡ x 3 tan ⁡ ( x ) - x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = x 3 tan ⁡ ( x ) - x quando o valor de x se aproxima muito de zero.

Repare que apenas substituindo zero no lugar de x , nós teríamos uma indeterminação. Então, vamos manipular um pouquinho nossa função pra sair da indeterminação, usando a regra de L’Hospital, e conseguir calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → 0 ⁡ x 3 tan ⁡ x - x

Já que não dá pra gente substituir x = 0 na função, vamos usar L’Hospital pra nos dar uma ajudinha. Derivando numerador e denominador separadamente, temos:

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 tan 2 ⁡ x

Não melhorou muito, né? Então vamos aplicar L’Hospital de novo:

lim x → 0 ⁡ 6 x 2 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x

Ainda temos uma indeterminação, mas desiste não. Vamos aplicar L’Hospital de novo:

lim x → 0 ⁡ 6 - 4 sec 2 ⁡ x + 6 sec 4 ⁡ x

Agora sim podemos aplicar o limite:

6 - 4 sec 2 ⁡ ( 0 ) + 6 sec 4 ⁡ ( 0 ) = 6 - 4 1 + 6 ( 1 )

= 6 2 = 3

Prontinho, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 3 tan ⁡ ( x ) - x = 3

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