UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 34a
Determine se cada limite abaixo existe e, caso afirmativo, determine seu valor:
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função quando o valor de se aproxima muito de zero pela direita, ou seja, por valores positivos cada vez mais próximos de zero.
Repare que apenas substituindo zero no lugar de , nós teríamos uma indeterminação. Então, vamos manipular um pouquinho nossa função pra sair da indeterminação, usando a regra de L’Hospital, e conseguir calcular o limite.
Vamos lá!
Passo 2
Temos:
A gente reescrever a função colocando em evidência:
A gente também pode separar esse produto em dois limites:
No primeiro limite, repare que quando se aproxima de valores muito pequenos, muito próximos de zero, o nosso quociente vai se aproximando de infinito. Então, temos:
No segundo limite, a gente pode reescrever a função e aplicar a regra de L’Hospital:
Assim, temos:
Mais uma vez, quando se aproxima de valores muito pequenos, muito próximos de zero, o nosso quociente vai se aproximando de infinito. Então:
Juntando tudo no nosso limite original:
Prontinho, galera. Até a próxima! 😉