Determine se cada limite abaixo existe e, caso afirmativo, determine seu valor:

a) lim x → 0 + ⁡ 1 x + ln ⁡ x     D i c a : p e n s e   e m   lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = 1 x + ln ⁡ x quando o valor de x se aproxima muito de zero pela direita, ou seja, por valores positivos cada vez mais próximos de zero.

Repare que apenas substituindo zero no lugar de x , nós teríamos uma indeterminação. Então, vamos manipular um pouquinho nossa função pra sair da indeterminação, usando a regra de L’Hospital, e conseguir calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → 0 + ⁡ 1 x + ln ⁡ x

A gente reescrever a função colocando 1 x em evidência:

lim x → 0 + ⁡ 1 x 1 + ln ⁡ x x

A gente também pode separar esse produto em dois limites:

lim x → 0 + ⁡ 1 x ∙ lim x → 0 + ⁡ 1 + ln ⁡ x x

No primeiro limite, repare que quando x se aproxima de valores muito pequenos, muito próximos de zero, o nosso quociente vai se aproximando de infinito. Então, temos:

lim x → 0 + ⁡ 1 x = ∞

No segundo limite, a gente pode reescrever a função e aplicar a regra de L’Hospital:

lim x → 0 + ⁡ 1 + lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x

= 1 + lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x

Assim, temos:

1 + lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x 2

Mais uma vez, quando x se aproxima de valores muito pequenos, muito próximos de zero, o nosso quociente vai se aproximando de infinito. Então:

1 + lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 x 2 = ∞

Juntando tudo no nosso limite original:

lim x → 0 + ⁡ 1 x + ln ⁡ x = ∞

Prontinho, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 x + ln ⁡ x = ∞

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