12. Determine os seguintes limites.

i) lim v → 2 ⁡ v 3 - 8 v 4 - 16

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos resolver o limite lim v → 2 ⁡ v 3 - 8 v 4 - 16 .

A primeira coisa que fazemos é substituir o valor para o qual x está tendendo. Se der um número que existe, então o limite é igual a esse valor.

Se der mais ou menos infinito, dizemos que o limite não existe e que vai pra mais ou menos infinito.

Maaaas pode ser que dê 0/0 ou ∞ / ∞ , isso é chamado de indeterminação. Daí precisamos usar algum truque pra tirar essa indeterminação e resolver.

Bora pra questão...

Passo 2

Quando substituímos o x , encontramos 0 / 0 . Isso é uma indeterminação, então precisamos fazer alguma manipulação pra sumir essa indeterminação.

Aqui vamos lembrar do produto notável:

a 2 - b 2 = a + b a - b

E também de outro produto notável:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Repara que a parte de cima pode ser fatorada em v 3 - 8 = v - 2 v 2 + 2 v + 4 e a parte de baixo pode ser fatorada em v 4 - 16 = v 2 - 4 v 2 + 4 que pode ser fatorada mais uma vez v 4 - 16 = v - 2 v + 2 v 2 + 4 , então podemos reescrever o limite como:

lim v → 2 ⁡ v 3 - 8 v 4 - 16 = lim v → 2 ⁡ v - 2 v 2 + 2 v + 4 v - 2 v + 2 v 2 + 4

Cortando o v - 2 :

= lim v → 2 ⁡ v 2 + 2 v + 4 v + 2 v 2 + 4

E, finalmente, substituindo o v :

= 2 2 + 2 2 + 4 2 + 2 2 2 + 4

= 4 + 4 + 4 4 4 + 4

= 3 8

Resposta

3 8

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