12. Determine os seguintes limites.

k) lim x → 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x - 2

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos resolver o limite lim x → 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x - 2 .

A primeira coisa que fazemos é substituir o valor para o qual x está tendendo. Se der um número que existe, então o limite é igual a esse valor.

Se der mais ou menos infinito, dizemos que o limite não existe e que vai pra mais ou menos infinito.

Maaaas pode ser que dê 0/0 ou ∞ / ∞ , isso é chamado de indeterminação. Daí precisamos usar algum truque pra tirar essa indeterminação e resolver.

Bora pra questão...

Passo 2

Quando substituímos o x , encontramos 0 / 0 . Isso é uma indeterminação, então precisamos fazer alguma manipulação pra sumir essa indeterminação.

Quando temos alguma raiz numa soma ou subtração, uma técnica boa pra aposta é de multiplicar pelo conjugado em cima e embaixo.

Lembra do produto notável:

a 2 + b 2 = a + b a - b

Se a gente pega o ( a + b ) , o conjugado dele vai ser a - b .

Então, pra nossa questão, o conjugado de x 2 + 12 - 4 vai ser x 2 + 12 + 4 .

Passo 3

Multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado:

lim x → 2 ⁡ x 2 + 12 - 4 x - 2 = lim x → 2 ⁡ ( x 2 + 12 - 4 ) x 2 + 12 + 4 ( x - 2 ) x 2 + 12 + 4

= lim x → 2 ⁡ x 2 + 12 2 - 4 2 ( x - 2 ) x 2 + 12 + 4

= lim x → 2 ⁡ x 2 + 12 - 16 ( x - 2 ) x 2 + 12 + 4

= lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 ( x - 2 ) x 2 + 12 + 4

Usando o produto notável pra fatora a parte de cima:

= lim x → 2 ⁡ x - 2 x + 2 ( x - 2 ) x 2 + 12 + 4

Cortando o x - 2 :

= lim x → 2 ⁡ x + 2 x 2 + 12 + 4

E, finalmente, substituindo o x :

= 2 + 2 2 2 + 12 + 4

= 1 2

Resposta

1 2

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