iii) Sem utilizar a regra de L’Hospital calcule os seguintes limites
Passo 1
Opa, vamos lá. A primeira cosia que a gente tem que tentar fazer é substituir e ver o que que dá. Vamos lá então:
Puts, não deu certo! Deu uma indeterminação. Então vamos precisar reescrever esse limite da forma:
Afinal, já sabemos que é raiz do polinômio do numerador e do denominador. Vamos achar e então.
Passo 2
Achando e
Começando pelo numerador, dá uma olhada boa nele:
Se tem uma coisa que esses dois termos tem em comum é ! Então, se colocarmos ele em evidência, temos:
E prontinho, achamos , saca só:
Temos então:
Agora pro denominador, temos:
Eta, perai, um polinômio de segundo grau? Issai cheira à resolução por Bháskara em! Nesse caso, seja:
Podemos reescrever para
Onde são as raízes do polinômio, dadas por:
Temos então:
As raízes vão ser então:
O polinômio de segundo grau fica:
E foi-se também, saca só:
Juntando as duas equações
Passo 3
Calculando o limite
Agora que achamos tanto quanto , só calcular o limite:
Po, o segundo limite é bem menor né? E veja bem! Se substituirmos não vamos achar indeterminação alguma:
Fechou então! O limite vai ser, enfim: