UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Vera Lúcia - Lista 2, Questão 3
Mostre, usando a definição de limite que
Passo 1
E ai meus amores, bora pra mais umazinha?
Para mostrar essa equivalência usando a definição de limite, precisamos usar a definição formal de limite e explorar as propriedades dos valores absolutos.
Vamos dividir essa prova em duas partes: a ida (mostrando que implica e a volta (mostrando que implica ) .
Parte 1: implica
Suponhamos que .
Queremos mostrar que isso implica
Usando a definição de limite, para qualquer existe tal que, se então
Agora, vamos considerar o valor absoluto de, ou seja, . Dado que temos:
Ou seja, se então o que significa que
Passo 2
Parte 2: implica
Agora, suponhamos que .
Queremos mostrar que isso implica .
Usando a definição de limite, para qualquer existe tal que, se então
Dado que implica .
Portanto, temos:
O que nos leva a:
Isso significa que se então o que implica que
Com isso, provamos a equivalência usando a definição de limite em ambas as direções.
A conclusão é que se e somente se .
Resposta
Vide o passo a passo.