36. Seja f uma função definida em R tal que para todo x ≠ 1 ,

- x 2 + 3 x ≤ f x < x 2 - 1 x - 1 .

Calcule lim x → 1 ⁡ f x   e justifique.

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular o limite da função f quando x está tendendo a 1.

Como foi dada uma desigualdade com 3 funções, e a do meio é justamente a f , vamos usar o Teorema do Confronto, que diz que se temos as funções g x ,   f x e h ( x ) e temos que:

lim x → a ⁡ g ( x ) = lim x → a ⁡ h x = L

E:

g x ≤ f x ≤ h x

Então, resulta destas condições que:

lim x → a ⁡ f x = L

Passo 2

Como já temos:

- x 2 + 3 x ≤ f x < x 2 - 1 x - 1

Vamos calcular o limite dos extremos, com x tendendo a 1 (queremos achar o limite de f x com x tendendo a 1):

- Para - x 2 + 3 x :

lim x → 1 ⁡ - x 2 + 3 x = - 1 2 + 3 1

= 2

- Para x 2 - 1 x - 1 :

lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x - 1 x + 1 x - 1

= lim x → 1 ⁡ x + 1

= 1 + 1

= 2

Portanto:

lim x → 1 ⁡ f x = 2

Resposta

2

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