UFMG, Cálc.1, 2020.1, P1, 4
Sejam números reais, tais que a função definida por
Tem derivada em . Assinale a alternativa correspondendo ao valor .
Escolha uma:
Passo 1
Falaaa, beleza?? Bora lá para mais um probleminha.
Nessa questão temos uma função definita por partes, dependendo de duas constantes: e .
Precisamos determinar de modo que possua derivada em .
Que informações podemos tirar dessa derivada em ?
Vale lembrar que se existe a derivada num ponto qualquer, isso implica que é contínua naquele ponto. Agora conseguiu enxergar o motivo de ser parecido com as duas primeiras?
Agora, o que faremos será lidar com o fato de ser contínua em . Bora relembrar alguns conceitos envolvendo isso.
De forma um pouco menos formal, dizemos que é contínua.
Além desse limite ser igual a , para o limite existir tem outra coisinha que deve rolar, consegue lembrar?
Para isso, precisamos que:
Passo 2
Bora aplicar esses conceitos no problema.
Vamos tomar , quando e , quando .
Ou seja:
E por isso, temos que
Passo 3
Além disso, precisamos de mais uma coisa. Para que a derivada exista em , precisamos que as derivadas à esquerda e à direita de sejam iguais, também. Pois a inclinação da reta tangente à à esquerda ou à direita, deve ser a mesma. Ou seja, vamos forçar que:
Ou seja:
Forçando a igualdade para :
Colocando esse valor na primeira relação , temos que
E por isso, temos que . Bora para a próxima questão??
Resposta
Letra E