Sejam a e b números reais tais que

lim x → 2 ⁡ x 2 + b x + a + 2 x 2 + 7 x - 18 = 4

O valor de a + b é

a ) - 48

b ) - 50

c ) - 47

d ) - 49

e ) - 46

Passo 1

Faaaala, blzz?? Bora para mais um probleminha dessa prova, envolvendo limite de uma fração.

Para entendermos o que temos que fazer vamos pensar que essa expressão, quando x = 2 dá problema no denominador, pois fica zero. Nosso objetivo é fazer aparecer algo no numerador que possa tirar esse problema. Para isso, veja que x 2 + 7 x - 18 = ( x - 2 ) ( x + 9 ) . Ou seja, se colocarmos algo no numerador sendo ( x - 2 ) ( a l g o ) resolveria o problema (cortava ( x - 2 ) ) .

Porém, veja que o numerador é um polinômio do segundo grau, como queremos que ele seja escrito da forma ( x - 2 ) ( a l g o ) temos que na verdade ele será do tipo ( x - 2 ) ( x ± d ) , para algum ±   d , uma vez que ele por ser polinômio do segundo grau, com uma das raízes sendo 2, a outra será d .

Passo 2

Ou seja, vamos forçar o seguinte:

x 2 + b x + a + 2 = ( x - 2 ) ( x + d )

Fazendo a distributiva do lado direito:

x 2 + b x + a + 2 = x 2 + x d - 2 x - 2 d

Ou seja:

x 2 + b x + a + 2 = x 2 + x d - 2 - 2 d

E dai, temos que:

b = d - 2

- 2 d = a + 2

Ou seja: d = 2 + b = - a - 2 2

Passo 3

Vamos guardar essa informação e calcular o limite:

lim x → 2 ⁡ ( x - 2 ) ( x + d ) ( x - 2 ) ( x + 9 ) = 4

Cortando e substituindo o valor de x por 2:

( 2 + d ) ( 2 + 9 ) = 4

Por isso, temos que:

d = 42

Ou seja, usando a informação já achada:

d = 42 = 2 + b = - a - 2 2

E daqui, tiramos que:

b = 40

a = - 86

E por isso, temos a + b = - 46

Resposta

Letra E

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