UFMG, Cálc.1, 2020.2, P1, 3
Sejam e números reais tais que
O valor de é
Passo 1
Faaaala, blzz?? Bora para mais um probleminha dessa prova, envolvendo limite de uma fração.
Para entendermos o que temos que fazer vamos pensar que essa expressão, quando dá problema no denominador, pois fica zero. Nosso objetivo é fazer aparecer algo no numerador que possa tirar esse problema. Para isso, veja que . Ou seja, se colocarmos algo no numerador sendo resolveria o problema (cortava .
Porém, veja que o numerador é um polinômio do segundo grau, como queremos que ele seja escrito da forma temos que na verdade ele será do tipo , para algum , uma vez que ele por ser polinômio do segundo grau, com uma das raízes sendo 2, a outra será .
Passo 2
Ou seja, vamos forçar o seguinte:
Fazendo a distributiva do lado direito:
Ou seja:
E dai, temos que:
Ou seja:
Passo 3
Vamos guardar essa informação e calcular o limite:
Cortando e substituindo o valor de por 2:
Por isso, temos que:
Ou seja, usando a informação já achada:
E daqui, tiramos que:
E por isso, temos
Resposta
Letra E