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Exercícios Resolvidos de Quociente de Polinômios com x → Constante

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 1.4

Sejam c, L ∈ R tais que l i m x → 1 2 x 3 + c   x + c x 2 - 1 = L . Determine c e L.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar c e L, tal que l i m x → 1 2 x 3 + c   x + c x 2 - 1 = L . Primeiro vamos tentar fatorar o numerador e verificar se conseguimos simplificar algum termo. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos realizar a divisão de polinômios

2 x 3 + c   x + c x 2 - 1 = 2 x + ( 2 + c ) x + c ( x 2 - 1 )

Lembrando que x 2 - 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 ) , olhando para a fração do resto

( 2 + c ) x + c ( x 2 - 1 ) = ( 2 + c ) x + c ( x + 1 ) ( x - 1 )

Fazendo c=-1, iremos simplificar com o termo (x-1) que é o termo que diverge quando aplicamos o limite, então

2 x + ( 2 + c ) x + c ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 2 x + ( 2 - 1 ) x - 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 2 x + 1 x + 1

Passo 3

Agora vamos voltar para o limite, já assumindo c=-1:

l i m x → 1 2 x + 1 x + 1 = L

Aplicando o limite

l i m x → 1 2 x + 1 x + 1 = 2 + 1 2 = L

L = 5 2 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

c = - 1 e L = 5 2 .

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