Sejam f ,   g : R → R tais que g x 2 + f x 2 = 2 para todo x ∈ R . Calcule e justifique

  1. lim x → 0 ⁡ x 5 g x
  2. lim x → 3 ⁡ f x x 3 - 27

Passo 1

Vamos justificar cada um desses cálculos:

Justificativa:

Primeiro, vamos relembrar que f x 2 + g x 2 = 2   para todo x ∈ R .

Usando isso, podemos isolar f ( x ) em termos de g ( x )

f x 2 + g x 2 = 2

f x 2   =   2   -   g x 2

  f ( x )   = 2 - g x 2

Passo 2

Agora iremos calcular o limite

lim x → 3 ⁡ f x x 3 - 27 = f x 3 3 - 27

= f 3 ⋅ 0

= 0

Dado que g x 2 + f x 2 = 2 ,   podemos concluir que f 3 2 + g 3 2 = 2 ,   o que implica f 3 2 = 2 - g 3 2 .

Como o termo x 3 - 27   é igual a 0 para x = 3 , o produto f 3 ⋅ x 3 - 27 também é 0.

Resposta

(a) Limite:

lim x → 0 ⁡ x 5 g x = 0

(b) Limite:

lim x → 3 ⁡ f x x 3 - 27 = 0

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