Suponha que g : R → R é tal que g x ≤ x 4 ,   para todo x ∈ R . Calcule lim x → 0 ⁡ g x x .

Passo 1

Bora la

Dado que g x ≤   x 4 para todo x em R , queremos calcular o limite de g x / x quando x se aproxima de 0:

lim x → 0 ⁡ g x x

Vamos usar o Teorema do Confronto para encontrar o limite.

Como g x ≤   x 4 , podemos dividir ambos os lados da desigualdade por | x | (lembrando que x   pode ser negativo ou positivo):

| g x | | x | ≤ x 3

Agora, se x   é diferente de 0, podemos dividir por x   (positivo ou negativo) mantendo a direção da desigualdade:

| g x | x ≤ x 3

Passo 2

Agora, podemos usar o Teorema do Confronto.

Queremos encontrar o limite inferior e superior das funções | g x | x e   x 3 quando x se aproxima de 0.

lim x → 0 ⁡ | g x | x = 0 (Pois | g x | x está sempre entre ±   x 3 e ambos têm limite 0.)

lim x → 0 ⁡ x 3 = 0

Pelo Teorema do Confronto, uma vez que o limite inferior e superior das duas funções é igual a 0, podemos concluir que:

lim x → 0 ⁡ g x x = 0

Portanto, o limite lim x → 0 ⁡ g x x = 0

é igual a 0, com base na restrição g x ≤   x 4 e o uso do Teorema do Confronto.

Resposta

Vide o passo a passo.

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