Usando algum limite fundamental, calcule

c)

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1

Sugestão: Faça a mudança de variável y = ln ⁡ ( x ) e use a igualdade lim y → 0 ⁡ e y - 1 y = ln ⁡ e = 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1

No entanto, a questão nos pede para utilizar algum limite fundamental para prosseguir com a solução do problema.

E aí? Vamos lá juntos?

Passo 2

Bom...vamos fazer de acordo com a sugestão dada na questão, ou seja, y = ln ⁡ ( x ) :

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1 = lim y → 0 ⁡ y e y - 1 ∴

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1 = lim y → 0 ⁡ e y - 1 y - 1

Passo 3

Agora, analisando o que acabamos de descobrir, podemos aplicar o seguinte limite fundamental:

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x x = ln ⁡ a

Assim, temos:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1 = lim y → 0 ⁡ e y - 1 y - 1 ∴

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1 = ln ⁡ e - 1 ∴

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1 = 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1 = 1

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