Usando o limite fundamental dado pela igualdade

lim h → 0 ⁡ s e n   h h = 1

Calcule os seguintes limites:

d)

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x )

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x )

No entanto, a questão nos pede para utilizar o seguinte limite fundamental para prosseguir com a solução do problema:

lim h → 0 ⁡ s e n   h h = 1

E aí? Vamos lá juntos?

Passo 2

Bom...vamos primeiramente expandir os termos do limite multiplicando por x x :

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x ) = lim x → 0 ⁡ s e n   a x x * x sen ⁡ b x ∴

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x ) = lim x → 0 ⁡ s e n   a x x * lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ b x ∴

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x ) = lim x → 0 ⁡ s e n   a x x * lim x → 0 ⁡ sen ⁡ b x x - 1

Passo 3

Como vimos na letra b), temos que:

lim x → 0 ⁡ s e n   a x x = a ∴

Dessa forma, temos:

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x ) = a * b - 1 ∴

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x ) = a b

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x ) = a b

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