3. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:

a)

u(x) = (x^3 + raiz(x, 3)) (x^3 - 2x + 5)

Passo 1

Fala meus chuchuzinhos da UFPE, bora matar essa questão de Cálculo 1?

Questão de derivada, vamos aplicar as regras do produto, quociente e cadeia para encontrar a derivada da nossa função u x , bora lá!

A nossa função é composta pela multiplicação de dois termos, portanto, podemos usar a regra do produto, onde:

u ' x = f ' x g x + f x g ' x

Onde f x = x 3 + x 3 e g x = x 3 - 2 x + 5 , precisamos portanto encontrar as derivadas dessas funções f ' x e g ' x .

Passo 2

Para a função f x = x 3 + x 3 , iremos reescrever essa raíz como um expoente, para facilitar a nossa vida:

f x = x 3 + x 1 3

Agora, vamos aplicar a regra do peteleco:

f ' x = 3 x 2 + 1 3 x 1 3 - 1

E precisamos encontrar o valor de 1 3 - 1 , aplicando o MMC, teremos:

1 3 - 1 = 1 - 3 3 = - 2 3

Portanto:

f ' x = 3 x 2 + 1 3 x - 2 3

Para a função g x = x 3 - 2 x + 5 , a sua derivada é só aplicar a regra do peteleco:

g ' x = 3 x 2 - 2

Passo 3

Agora substituindo na regra do produto, teremos:

u ' x = f ' x g x + f x g ' x

u ' x = 3 x 2 + 1 3 x - 2 3 x 3 - 2 x + 5 + x 3 + x 1 3 3 x 2 - 2

Realizando a multiplicação distributiva, teremos:

u ' x = 3 x 5 - 6 x 3 + 15 x 2 + 1 3 x 7 3 - 2 3 x 1 3 + 5 3 x - 2 3 +

+ 3 x 5 - 2 x 3 + 3 x 7 3 - 2 x 1 3

Juntando quem tem o mesmo grau...

u ' x = 6 x 5 - 8 x 3 + 15 x 2 + 10 3 x 7 3 - 8 3 x 1 3 + 5 3 x - 2 3

Resposta

u ' x = 6 x 5 - 8 x 3 + 15 x 2 + 10 3 x 7 3 - 8 3 x 1 3 + 5 3 x - 2 3

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