UTFPR– Cálculo Diferencial e Integral I – REOF – Questão 5a
Sem utilizar a Regra de L’Hôpital, calcule os limites abaixo ou justifique caso eles não existam
Passo 1
Oi, tudo bem? O problema nos deu esse limite aqui para resolvermos
e sem usar a regra de L’Hôpital! Isso significa que quando substituirmos por vamos encontrar uma indeterminação!
Vamos verificar?
Poxa vida, encontramos mesmo uma indeterminação! Então o jeito é sair desse zero sobre zero! Mas como? Bom, o primeiro truque que aprendemos é fatorar o polinômio! Assim quem sabe conseguimos ver algum limite fundamental (já que temos aquele seno dando sopa no numerador...)
Belezinha até aqui?
Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nosso limite é o seguinte
A ideia é fatorar o denominador:
Daqui temos dois resultados
Beleza?
Nosso denominador fatorado fica então assim
E podemos voltar ao nosso limite
Passo 3
E agora? Agora vem o truque mais sujo da vida! Dá uma olhada com carinho para o argumento do seno
Ele não é vezes um dos fatores do denominador?
Então esse é nosso próximo passo! Multiplicar em cima e embaixo por no limite
Mas porque fazer isso?
Lembra que comentei no passo sobre o limite fundamental? Vamos relembrar?
É isso que estamos atrás! E estamos muito próximos de conseguir!
Passo 4
Vamos regatar nosso limite
Sabemos que o limite do produto é o produto dos limites, então podemos separar convenientemente em dois esse limite aí em cima
Vamos avaliar esses limites separadamente? Bora lá! Começando pelo da esquerda:
Isso aqui é exatamente o limite fundamente que eu falei ali em cima!
Se fizemos a seguinte mudança de variáveis
Quando temos que
Então nosso limite fica o seguinte
Bom, e o limite mais à direita?
Esse foi fácil!
Então agora é só substituir!
Nosso limite existe, e vale ! Bora treinar mais?