UTFPR– Cálculo Diferencial e Integral I – REOF – Questão 5b
Sem utilizar a Regra de L’Hôpital, calcule os limites abaixo ou justifique caso eles não existam
Passo 1
Olá pessoal, tudo certinho? O problema nos deu esse limite aqui para resolvermos
e sem usar a regra de L’Hôpital! Isso significa que quando substituirmos por vamos encontrar uma indeterminação!
Vamos verificar?
Poxa vida, pela primeira impressão, achamos que isso seria uma indeterminação, não é mesmo?
Mas pensa só comigo: a função seno não é limitada?
É! Ela é uma função limitada a uma imagem que está entre sempre! Para qualquer valor de !
No nosso caso temos : não sabemos qual é o argumento dentro do seno, mas ele é bem grande!
Mas será que isso importa? Não importa não! Pois qualquer que seja esse valor, o seno vai devolver um valor entre e ! Super bem-comportado!
Mas então, qual é o resultado desse limite?
A resposta está em analisar o comportamento do produto dos limites! Isso porque o limite de um produto é o produto dos limites! E uma parte desse produto aí sim é uma indeterminação
Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nosso limite é o seguinte
Podemos separar em dois limites:
Olhando para a parte em seno
Já analisamos e vimos que é uma função limitada, embora não saibamos o seu valor, sabemos que não é infinito! E nesse caso temos dois desfechos possíveis:
- Se a outra parte do limite for zero, podemos dizer que o limite é zero! E aí ele existe! Pois um produto de um número finito (mesmo que não saibamos exatamente quanto vale) por zero é zero!
- E se der um valor finito? Aí dizemos que o limite não existe! Isso porque não podemos determinar com exatidão qual será o valor do seno, só sabemos que ele está entre , e isso não basta para afirmarmos qual o valor do limite
Nossa missão agora é encontrar a outra parte do limite!
Passo 3
Bora analisar a outra parte do limite?
A ideia é fatorar tanto numerador quanto denominador:
Daqui temos dois resultados
Aí o denominador fica
Tranquilo até aqui?
O numerador é um trinômio quadrado perfeito
Aí a razão de polinômios fica assim
Agora vamos avaliar novamente o limite quando :
Sabemos que o limite do produto é o produto dos limites, então podemos juntar nossos resultados!
Nosso limite existe, e vale ! Bora praticar mais?