Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma

prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode

assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.)

  1. Se existem os limites lim x → x 0 ⁡ f x   e lim x → x 0 ⁡ f x + g x ,   e n t ã o   e x i s t e lim x → x 0 ⁡ g ( x ) .
  2. Pode existir lim x → x 0 ⁡ f x + g x   s e m   q u e   e x i s t a lim x → x 0 ⁡ f ( x )   o u lim x → x 0 ⁡ g ( x ) .
  3. Se existe lim x → x 0 ⁡ f x e não existe lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , então não existe lim x → x 0 ⁡ f x + g x .
  4. Se existe lim x → x 0 ⁡ f x e lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , então existe lim x → x 0 ⁡ f x g x .
  5. Se existe lim x → x 0 ⁡ f x e não existe lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , então não existe lim x → x 0 ⁡ f x g x .
  6. Se existe lim x → x 0 + ⁡ f x e lim x → x 0 - ⁡ f ( x ) , então existe lim x → x 0 ⁡ f x existe.

Passo 1

E ai galerinha do mal, bora resolver essa comigo?

Simboraa

A afirmação é verdadeira, e posso justificá-la com base nas propriedades de limites.

Justificativa:

Dado que os limites lim x → x 0 ⁡ f x   e lim x → x 0 ⁡ f x + g x   existem, podemos usar as propriedades de limites para analisar a existência do limite lim x → x 0 ⁡ g ( x ) .

Vamos usar a propriedade da soma de limites, que nos diz que a soma de limites individuais é o limite da soma:

lim x → x 0 ⁡ f x + g x = lim x → x 0 ⁡ f x + lim x → x 0 ⁡ g ( x ) .

Dado que lim x → x 0 ⁡ f x   e   lim x → x 0 ⁡ f x + g x   existem, podemos subtrair lim x → x 0 ⁡ f x   de ambos os lados da equação acima:

lim x → x 0 ⁡ g ( x ) = lim x → x 0 ⁡ f x + g x - lim x → x 0 ⁡ f x  

Passo 2

Uma vez que as duas parcelas no lado direito da equação existem (pois os limites individuais existem), podemos concluir que lim x → x 0 ⁡ g ( x ) também existe.

Portanto, a existência dos limites lim x → x 0 ⁡ f x e lim x → x 0 ⁡ f x + g x implica na existência de lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , conforme afirmado.

Contraexemplo:

Não é necessário fornecer um contraexemplo, pois a afirmação é verdadeira, e a justificativa acima demonstra a sua validade com base nas propriedades de limites.

Resposta

Verdadeira.

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