UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Vera Lúcia - Lista 2, Questão 7c
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma
prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode
assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.)
- Se existem os limites
- Pode existir
- Se existe e não existe então não existe
- Se existe e então existe
- Se existe e não existe então não existe .
- Se existe e então existe existe.
Passo 1
Alouu alouu gurizada,
A afirmação é falsa.
Vou apresentar um contraexemplo que demonstra que a inexistência de não implica necessariamente na inexistência de
Contraexemplo:
Considere as funções definidas da seguinte forma:
Ambas são contínuas em , pois os limites laterais são iguais aos valores da função.
Portanto, e existem e são iguais a 0.
Passo 2
No entanto, considere a função soma :
O limite de quando se aproxima de 0 existe e é 0:
Apesar de existir e existir (ambos iguais a 0), o limite também existe e é igual a 0.
Isso demonstra que a inexistência de não implica na inexistência de , o que contradiz a afirmação dada.
Portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
Falsa.