Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma

prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode

assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.)

  1. Se existem os limites lim x → x 0 ⁡ f x   e lim x → x 0 ⁡ f x + g x ,   e n t ã o   e x i s t e lim x → x 0 ⁡ g ( x ) .
  2. Pode existir lim x → x 0 ⁡ f x + g x   s e m   q u e   e x i s t a lim x → x 0 ⁡ f ( x )   o u lim x → x 0 ⁡ g ( x ) .
  3. Se existe lim x → x 0 ⁡ f x e não existe lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , então não existe lim x → x 0 ⁡ f x + g x .
  4. Se existe lim x → x 0 ⁡ f x e lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , então existe lim x → x 0 ⁡ f x g x .
  5. Se existe lim x → x 0 ⁡ f x e não existe lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , então não existe lim x → x 0 ⁡ f x g x .
  6. Se existe lim x → x 0 + ⁡ f x e lim x → x 0 - ⁡ f ( x ) , então existe lim x → x 0 ⁡ f x existe.

Passo 1

Alouu alouu gurizada,

A afirmação é falsa.

Vou apresentar um contraexemplo que demonstra que a inexistência de lim x → x 0 ⁡ f x não implica necessariamente na inexistência de lim x → x 0 ⁡ f x + g x

Contraexemplo:

Considere as funções f x e   g ( x ) definidas da seguinte forma:

f x =   x ,                 s e   x ≠ 0 0 ,                   s e   x = 0

g x =   - x ,                 s e   x ≠ 0 0 ,                   s e   x = 0

Ambas f x e   g ( x ) são contínuas em x = 0 , pois os limites laterais são iguais aos valores da função.

Portanto, lim x → x 0 ⁡ f x e lim x → x 0 ⁡ g x existem e são iguais a 0.

Passo 2

No entanto, considere a função soma f x +   g ( x ) :

f x +   g x = 0 ,                 s e   x ≠ 0 0 ,                   s e   x = 0

O limite de f x +   g x quando x se aproxima de 0 existe e é 0:

lim x → x 0 ⁡ f x + g x = lim x → 0 ⁡ 0 = 0

Apesar de lim x → x 0 ⁡ f x existir e lim x → x 0 ⁡ g x existir (ambos iguais a 0), o limite lim x → x 0 ⁡ f x + g x também existe e é igual a 0.

Isso demonstra que a inexistência de lim x → x 0 ⁡ g x não implica na inexistência de lim x → x 0 ⁡ f x + g x , o que contradiz a afirmação dada.

Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa.

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