Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma

prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode

assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.)

  1. Se existem os limites lim x → x 0 ⁡ f x   e lim x → x 0 ⁡ f x + g x ,   e n t ã o   e x i s t e lim x → x 0 ⁡ g ( x ) .
  2. Pode existir lim x → x 0 ⁡ f x + g x   s e m   q u e   e x i s t a lim x → x 0 ⁡ f ( x )   o u lim x → x 0 ⁡ g ( x ) .
  3. Se existe lim x → x 0 ⁡ f x e não existe lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , então não existe lim x → x 0 ⁡ f x + g x .
  4. Se existe lim x → x 0 ⁡ f x e lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , então existe lim x → x 0 ⁡ f x g x .
  5. Se existe lim x → x 0 ⁡ f x e não existe lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , então não existe lim x → x 0 ⁡ f x g x .
  6. Se existe lim x → x 0 + ⁡ f x e lim x → x 0 - ⁡ f ( x ) , então existe lim x → x 0 ⁡ f x existe.

Passo 1

Vamo comigo, encostaaa

A afirmação é verdadeira.

Vou justificá-la usando uma prova direta e assumindo as propriedades de limites.

Justificativa:

Suponha que lim x → x 0 ⁡ f x existe e lim x → x 0 ⁡ g ( x ) não existe. Nosso objetivo é mostrar que, nesse caso, lim x → x 0 ⁡ f x g x   também não existe.

Suponha, por absurdo, que lim x → x 0 ⁡ f x g x existe.

Isso significaria que f x g x está bem-comportado perto de x 0 , o que é contrário à inexistência de lim x → x 0 ⁡ g ( x ) .

Agora, vamos usar a propriedade de que o produto de limites é o limite do produto:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f x ⋅ lim x → x 0 ⁡ g x

Passo 2

Dado que lim x → x 0 ⁡ f x   existe lim x → x 0 ⁡ g x     não existe, temos:

lim ⁡ e x i s t e ⋅ lim ⁡ i n e x i s t e n t e = i n e x i s t e n t e

Isso contradiz a suposição inicial de que lim x → x 0 ⁡ f x g x existe.

Portanto, nossa suposição de que lim x → x 0 ⁡ f x g x   existe leva a uma contradição.

Consequentemente, concluímos que se lim x → x 0 ⁡ f x   existe lim x → x 0 ⁡ g x     não existe, então lim x → x 0 ⁡ f x g x   também não existe.

Contraexemplo:

Não é necessário fornecer um contraexemplo, pois a afirmação é verdadeira, e a justificativa acima demonstra a sua validade com base nas propriedades de limites.

Resposta

Verdadeira.

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