UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Vera Lúcia - Lista 2, Questão 7e
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma
prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode
assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.)
- Se existem os limites
- Pode existir
- Se existe e não existe então não existe
- Se existe e então existe
- Se existe e não existe então não existe .
- Se existe e então existe existe.
Passo 1
Vamo comigo, encostaaa
A afirmação é verdadeira.
Vou justificá-la usando uma prova direta e assumindo as propriedades de limites.
Justificativa:
Suponha que existe e não existe. Nosso objetivo é mostrar que, nesse caso, também não existe.
Suponha, por absurdo, que existe.
Isso significaria que está bem-comportado perto de o que é contrário à inexistência de .
Agora, vamos usar a propriedade de que o produto de limites é o limite do produto:
Passo 2
Dado que existe não existe, temos:
Isso contradiz a suposição inicial de que existe.
Portanto, nossa suposição de que existe leva a uma contradição.
Consequentemente, concluímos que se existe não existe, então também não existe.
Contraexemplo:
Não é necessário fornecer um contraexemplo, pois a afirmação é verdadeira, e a justificativa acima demonstra a sua validade com base nas propriedades de limites.
Resposta
Verdadeira.