UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Vera Lúcia - Lista 2, Questão 7f
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma
prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode
assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.)
- Se existem os limites
- Pode existir
- Se existe e não existe então não existe
- Se existe e então existe
- Se existe e não existe então não existe .
- Se existe e então existe existe.
Passo 1
Oi galerinha do RA. Bora resolver mais essa comigo?
A afirmação é verdadeira.
Vou justificá-la utilizando propriedades de limites.
Justificativa:
Se (limite pela direita) e (limite pela esquerda) existem, significa que a função está bem-comportada tanto à direita quanto à esquerda de
Vamos usar a definição de limite para mostrar que existe e é igual aos limites laterais.
A definição do limite é que, para qualquer valor positivo deve existir um valor positivo tal que se então onde é o limite.
Passo 2
Se existe, significa que para um valor positivo existe um valor positivo tal que
Da mesma forma, se existe, significa que para um valor positivo existe um valor positivo tal que se , então
Agora, podemos escolher .
Se então temos o que significa que
Como o limite deve ser único, , então
Isso mostra que existe e é igual a o que completa a justificativa.
Portanto, se e existem, então também existe.
Resposta
Verdadeira.