UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Vera Lúcia - Lista 2, Questão 7d
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma
prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode
assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.)
- Se existem os limites
- Pode existir
- Se existe e não existe então não existe
- Se existe e então existe
- Se existe e não existe então não existe .
- Se existe e então existe existe.
Passo 1
Bora maceta essa juntin comigo?
A afirmação dada é parcialmente verdadeira, mas requer algumas condições adicionais para ser completamente verdadeira.
A afirmação é verdadeira sob a condição de que o limite de no ponto não seja igual a zero (ou seja,
Vou explicar com mais detalhes.
A afirmação é baseada na propriedade dos limites em que, se e existem e não é igual a zero, então o limite de também existe e é igual a
Aqui está uma prova dessa afirmação:
Dado que e existem e não é igual a zero, podemos aplicar a regra do limite para o quociente de funções:
Passo 2
Desde que e existam (conforme dito na afirmação), podemos calcular o limite do quociente desta forma, e a afirmação é verdadeira nesse caso.
Agora, para mostrar que a afirmação não é verdadeira quando , considere o seguinte contraexemplo:
Seja .
Nesse caso, temos:
Passo 3
Ambos os limites existem, mas , o que viola a condição de que não deve ser igual a zero. Agora, vamos calcular o limite de
Neste caso, o limite resultante é uma indeterminação do tipo e não podemos determinar o limite diretamente. Portanto, a afirmação não é verdadeira quando .
Portanto, a afirmação é verdadeira somente se , não for igual a zero, mas não é verdadeira quando . Então como um todo é FALSA
Resposta
FALSA