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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

  1. Calcular a derivada da função, onde ela existir, nos seguintes casos:
  1. y = ln ⁡ x sin ⁡ x + cos ⁡ x x 2

  2. y = 1 + x 5 4 1 + x 6

  3. y = 4 x sin ⁡ x ln ⁡ x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essas derivadas vamos ter aplicar a regra do produto, a regra do quociente e a regra da cadeia, dependendo de cada caso!

Para quem não lembra, a regra do produto nos diz que

y = f x g x → y ' = f ' x g x + f x g ' x

Já a regra do quociente diz

y = f x g x → y ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Por fim, a regra da cadeia diz que

y = f g x → y ' = g ' x f ' g x

Agora vamos aplicar!

Passo 2

  1. Para a primeira derivada vamos aplicar a regra do produto para o primeiro termo da soma e a regra do quociente para o segundo termo da soma.

    2. Temos a seguinte derivada

    y = ln ⁡ x sin ⁡ x + cos ⁡ x x 2

    y ' = ln ⁡ x sin ⁡ x ' + cos ⁡ x x 2 '

    Aplicando a regra do produto para o primeiro termo, temos que

    f x = ln ⁡ x → f ' x = 1 x

    g x = sin ⁡ x → g ' x = cos ⁡ x

    Então fica assim,

    ln ⁡ x sin ⁡ x ' = 1 x . sin ⁡ x + ln ⁡ x cos ⁡ x

    Agora fazendo a regra do quociente para o segundo termo ficamos com

    f x = cos ⁡ x → f ' x = - sin ⁡ x

    g x = x 2 → g ' x = 2 x

    Então fica assim,

    cos ⁡ x x 2 ' = - sin ⁡ x x 2 - cos ⁡ x 2 x x 4

    Juntando tudo, ficamos com

    y ' = 1 x . sin ⁡ x + ln ⁡ x cos ⁡ x + - sin ⁡ x x 2 - cos ⁡ x 2 x x 4

    Passo 3

  2. No item b, também temos um produto, então vamos aplicar a regra do produto. Mas como cada termo é bem grandinho e complicado, vamos precisar aplicar a regra da cadeia primeiro, pra derivar cada termo da nossa função y.

    3. y = 1 + x 5 4 1 + x 6

    y = 1 + x 5 4 ' 1 + x 6 '

    Aplicando a regra da cadeia para o primeiro termo ficamos com

    f x = x 4 → f ' x = 1 4 x -   3 4

    g x = 1 + x 5 → g ' x = 5 x 4

    Então fica assim,

    1 + x 5 4 ' = 5 x 4 1 4 1 + x 5 - 3 4

    Para o segundo termo temos,

    f x = x 6 → f ' x = 6 x 5

    g x = 1 + x → g ' x = 1

    Então fica assim,

    1 + x 6 ' = 1 6 x + 1 5

    Agora vamos aplicar a regra do produto, fica assim

    y ' = 5 x 4 1 4 1 + x 5 - 3 4 x + 1 6 + 1 + x 5 4 6 x + 1 5

    Passo 4

  3. Para resolver,

y = 4 x sin ⁡ x ln ⁡ x

Vamos aplicar a regra do quociente, onde

f x = 4 x sin ⁡ x

g x = ln ⁡ x

Para derivar f x , vamos aplicar a regra do produto. Então fica assim

f ' x = 4 x ' sin ⁡ x + 4 x sin ⁡ x '

f ' x = 4 x ln ⁡ 4 sin ⁡ x + 4 x cos ⁡ x

f ' x = 4 x ln ⁡ 4 sin ⁡ x + cos ⁡ x

Aplicando agora a regra do quociente, ficamos com

y ' = 4 x ln ⁡ 4 sin ⁡ x + cos ⁡ x ln ⁡ x - 4 x sin ⁡ x x ln ⁡ x 2

Resposta

  1. y ' = 1 x . sin ⁡ x + ln ⁡ x cos ⁡ x + - sin ⁡ x x 2 - cos ⁡ x 2 x x 4
  2. y ' = 5 x 4 1 4 1 + x 5 - 3 4 x + 1 6 + 1 + x 5 4 6 x + 1 5
  3. y ' = 4 x ln ⁡ 4 sin ⁡ x + cos ⁡ x ln ⁡ x - 4 x sin ⁡ x x ln ⁡ x 2

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