UFRJ. Cálculo 1. Prova P1. 2022.2. Questão 4.
Questão 4 - A superfície de um cubo oco, de aresta , é feita de um material que se encolhe uniformemente a uma taxa constante de . Determine com que taxa está diminuindo o volume do cubo no momento em que sua aresta mede .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema temos um cubo que inicialmente tem aresta . Esse cubo encolhe superficialmente a uma taxa de .
Apenas com essas informações, temos que descobrir qual é a taxa de “encolhimento” no momento em que a aresta do cubo possuir .
Tem alguma ideia aí? 👀
Lembra como é calculado o volume de um cubo?
E a área superficial?
Se , e forem funções do tempo , temos
Qual é a operação que resulta em uma taxa de variação? A derivada, não é?
Então vamos usar desse recurso em nosso favor!
Pronto? 😁
Passo 2
Primeiro vamos calcular a taxa de variação da função área superficial derivando dos dois lados. (como é uma constante, podemos tirar da derivada)
A derivada de é igual a , ou seja, a taxa de variação da área superficial, que como dada no enunciado, é igual a
Já a derivada de deve ser obtida a partir da regra da cadeia (substituindo por ).
Voltando para
Substituindo esses resultados na equação, temos
Agora considerando o instante em que a aresta do cubo é igual a , temos que
Substituindo na equação...
Entendeu essa parte? 😉
Passo 3
Agora faremos um procedimento muito parecido com a função de volume para encontrar a variação do volume no instante .
A função é dada por
Derivando os dois lados...
Pela regra da cadeira, a derivada de é dada por
Substituindo por
é a variação volumétrica que estamos procurando, é a medida da aresta que em é igual a e é a variação linear da aresta que no instante calculamos que vale no passo anterior.
Fazendo as substituições...
Portanto, a variação volumétrica no instante em que a aresta do cubo vale é de !
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
