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Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

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Enunciado

1ºEE – Cálculo 1 – UFPE – 2022.2 – Questão 3b

3. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:

b)

u t = 3 t 2 - 2 t t 2 + t + 1

Passo 1

Fala meus chuchuzinhos da UFPE, bora matar essa questão de Cálculo 1?

Questão de derivada, vamos aplicar as regras do produto, quociente e cadeia para encontrar a derivada da nossa função u t , bora lá!

A nossa função é composta pela divisão de dois termos, portanto, podemos usar a regra do quociente, onde:

u ' t = f ' t g t - f t g ' t g 2 t

Onde f t = 3 t 2 - 2 t e g t = t 2 + t + 1 , precisamos portanto encontrar as derivadas dessas funções f ' t e g ' t .

Passo 2

Para a função f t = 3 t 2 - 2 t , vamos reescrever essa raíz como um expoente, para facilitar nossa vida na hora de derivar...

f t = 3 t 2 - 2 t 1 2

Aplicando a regra do peteleco, teremos:

f ' t = 6 t - 2 1 2 t 1 2 - 1

f ' t = 6 t - t - 1 2

Para a função g t = t 2 + t + 1 , apenas precisamos aplicar a regra do peteleco:

g ' t = 2 t + 1

Agora substituindo isso na regra do quociente, vamos fazer isso no próximo passo...

Passo 3

Temos que:

u ' t = f ' t g t - f t g ' t g 2 t

u ' t = 6 t - t - 1 2 t 2 + t + 1 - 3 t 2 - 2 t 1 2 2 t + 1 t 2 + t + 1 2

Agora é aquela hora do algebrismo... Vamos realizar essas multiplicações e o quadrado do denominador:

u ' t = 6 t 3 + 6 t 2 + 6 t - t 3 2 - t 1 2 - t - 1 2 - 6 t 3 + 3 t 2 - 4 t 5 2 - 2 t 1 2 t 4 + t 3 + t + t 3 + t 2 + t + t 2 + t + 1

Juntando tudo que dá, teremos:

u ' t = 9 t 2 + 6 t - 4 t 5 2 - t 3 2 - 3 t 1 2 - t - 1 2 t 4 + 2 t 3 + 2 t 2 + 3 t + 1

Resposta

u ' t = 9 t 2 + 6 t - 4 t 5 2 - t 3 2 - 3 t 1 2 - t - 1 2 t 4 + 2 t 3 + 2 t 2 + 3 t + 1

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